三、解答題

　　9.已知單位正方形ABCD，在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)M，求：

　　(1)AMB面積大于等于的概率;

　　(2)AM的長(zhǎng)度不小于1的概率.

　　[解析]　(1)如圖，取BC、AD的中點(diǎn)E、F，連接EF，當(dāng)M在CEFD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，ABM的面積大于等于，由幾何概型定義得P==.

　　(2)如圖，以AB為半徑作圓弧，M在陰影部分時(shí)，AM的長(zhǎng)度大于等于1，由幾何概率的意義知P==1-×π×12=1-.

　　一、選擇題

　　1.如圖，已知O(0,0)，A(30,0)，B(30,30)，C(0,30)，E(12,0)，F(xiàn)(30,18)，P(18,30)，Q(0,12)，在正方形OABC內(nèi)任意取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域OEFBPQ內(nèi)的概率為(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　[答案]　C

　　[解析]　依題意可得正方形OABC的面積為900，區(qū)域OEFBPQ的面積為900-2××182=576.記“該點(diǎn)在區(qū)域OEFBPQ內(nèi)”為事件A，所以P(A)==.

　　2.函數(shù)f(x)=x2-x-2，x[-5,5]，那么任取一點(diǎn)x0[-5,5]使f(x0)≤0的概率是(　　)

　　A.1 B.

　　C. D.

　　[答案]　C

　　[解析]　任取一點(diǎn)x0[-5,5]的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，屬于幾何概型.畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像(圖略)，由圖像得當(dāng)x0[-1,2]時(shí)，f(x0)≤0.設(shè)“使f(x0)≤0”為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是2-(-1)=3，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是5-(-5)=10，則P(A)=.故選C.

　　二、填空題

　　3.在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)集合Ω={(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，則滿(mǎn)足x+y≤1的概率等于________.

　　[答案]

　　[解析]　集合Ω={(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)，如圖所示，其面積為1，點(diǎn)P所表示的平面區(qū)域?yàn)榈妊�直角三角形及其�?nèi)部的點(diǎn)，其直角邊長(zhǎng)為1，面積為，則滿(mǎn)足x+y≤1的概率為P=.

　　4.點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_______.

　　[答案]

　　[解析]　如圖，

　　點(diǎn)B可落在優(yōu)弧上，其弧長(zhǎng)為2，由幾何概型知概率為.

　　三、解答題

　　5.(1)向面積為6的ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，求PBC的面積小于2的概率.

　　(2)在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，求PBC的面積大于的概率.

　　[解析]　(1)取ABC邊BC上的高AE的三等分點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P落在圖中陰影部分時(shí)，PBC的面積小于2，故概率為=.

　　(2)據(jù)題意基本事件空間可用線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度來(lái)度量，事件“PBC的面積大于”可用距離A長(zhǎng)為AB的線(xiàn)段的長(zhǎng)度來(lái)度量，故其概率為=.

　　6.設(shè)有一個(gè)等邊三角形網(wǎng)格，其中各個(gè)最小等邊三角形的邊長(zhǎng)都是4 cm，現(xiàn)用直徑等于2 cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的概率.

　　[解析]　記A={硬幣落下后與格線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)}，如右圖所示，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，則小等邊三角形的邊長(zhǎng)為4-2=2，由幾何概型的概率公式得

　　P(A)==.

　　7.如圖所示，面積為S的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為·S，假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，求落入M中的點(diǎn)的數(shù)目.

　　[解析]　記“點(diǎn)落入M中”為事件A，則有P(A)==，

　　所以向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，落入M中的點(diǎn)的數(shù)目為：

　　10 000×=25 00.

　　也可由S′=·S直接代入，即S′=1，S=4，n=10 000，

　　所以m===2 500.

　　答：落入M中的點(diǎn)的數(shù)目為2 500.